Trending Articles
z = 30^\circ, 60^\circ, 210^\circ, 240^\circ
30^\circ + 60^\circ + 210^\circ + 240^\circ = 540^\circ
إذن، مجموع جميع الزوايا $z$ التي تحقق $\sin(2z) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ هو $\boxed{540^\circ}$.
السؤال: أوجد إحداثيات الرأس الرابع لهرم رباعي منتظم إذا كانت ثلاثة من رؤوسه تقع في النقاط $(0,0,0)$ و $(a,a,0)$ و $(0,a,a)$، حيث $a$ عدد صحيح موجب، وجميع الإحداثيات أعداد صحيحة.
الحل: لنجعل رؤوس الهرم الرباعي المنتظم هي $A = (0,0,0)$ و $B = (a,a,0)$ و $C = (0,a,a)$. لإيجاد إحداثيات الرأس الرابع $D = (x,y,z)$، نستخدم خصائص الهرم الرباعي المنتظم، حيث تكون جميع الحواف متساوية في الطول. طول الحافة $s$ يُعطى بالمسافة بين $A$ و $B$:
s = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
نحن بحاجة إلى أن تكون المسافات من $D$ إلى $A$ و $B$ و $C$ جميعها تساوي $a\sqrt{2}$. أولاً، نحسب المسافة من $D$ إلى $A$:
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = a\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2
بعد ذلك، المسافة من $D$ إلى $B$:
\sqrt{(x-a)^2 + (y-a)^2 + z^2} = a\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad (x-a)^2 + (y-a)^2 + z^2 = 2a^2
