Una secuencia geométrica tiene un primer término de 5 y una razón común de 3. ¿Cuál es la suma de los primeros 4 términos?
["Cómo Calcular la Suma de los Primeros 4 Términos de una Secuencia Geométrica", "Una secuencia geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón común. Comprender cómo calcular la suma de los términos iniciales de estas secuencias es fundamental en matemáticas, especialmente en temas como finanzas, series infinitas y modelado matemático. En este artículo, te explicaremos paso a paso cómo encontrar la suma de los primeros 4 términos de una secuencia geométrica con un primer término de 5 y una razón común de 3.", "---", "### ¿Qué es una secuencia geométrica?", "Una secuencia geométrica se define por su primer término ( a ) y su razón común ( r ). Los términos de la secuencia se calculan así:", "- ( a_1 = a )\n- ( a_2 = a \cdot r )\n- ( a_3 = a \cdot r^2 )\n- ( a_4 = a \cdot r^3 ), y así sucesivamente.", "El valor general del ( n^{\ ext{º}}} término es:\n[ a_n = a \cdot r^{n-1} ]", "---", "### Datos del problema", "- Primer término: ( a = 5 )\n- Razón común: ( r = 3 )\n- Número de términos: ( n = 4 )", "Quieremos calcular la suma ( S_4 ), es decir, la suma de los primeros 4 términos:\n[ S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 ]", "---", "### Cálculo de cada término", "Usando la fórmula ( a_n = a \cdot r^{n-1} ):", "- ( a_1 = 5 \cdot 3^{0} = 5 )\n- ( a_2 = 5 \cdot 3^{1} = 15 )\n- ( a_3 = 5 \cdot 3^{2} = 5 \cdot 9 = 45 )\n- ( a_4 = 5 \cdot 3^{3} = 5 \cdot 27 = 135 )", "---", "### Suma de los primeros 4 términos", "Sumamos los valores obtenidos:\n[\nS_4 = 5 + 15 + 45 + 135 = 200\n]", "---", "### Alternativa: Fórmula general para la suma de una serie geométrica", "Existe una fórmula para calcular directamente la suma de los primeros ( n ) términos de una secuencia geométrica, cuando ( r <br/>\neq 1 ):", "[\nS_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}\n]", "Aplicando esta fórmula con ( n = 4 ):", "[\nS_4 = 5 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 5 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 5 \cdot \frac{80}{2} = 5 \cdot 40 = 200\n]", "El resultado coincide con el cálculo sumando término a término.", "---", "### Conclusión", "La suma de los primeros 4 términos de la secuencia geométrica con primer término 5 y razón común 3 es 200. Este tipo de cálculos es esencial para resolver problemas en distintas áreas como finanzas, física o álgebra avanzada. Recordar tanto el método término a término como la fórmula general facilita su uso en exámenes y aplicaciones prácticas.", "Si deseas dominar de forma rápida la suma de secuencias geométricas, memoriza la fórmula:\n[\n\boxed{S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}}\n]\ny aplícala siempre que sea posible para ahorrar tiempo y evitar errores.", "---", "Palabras clave: secuencia geométrica, suma de términos, razón común, primer término 5, razón común 3, fórmula geométrica, cálculo matemático, educación matemática."]
